Matematiğin Temeli
1. Sayı Kümeleri ve İşaret Kurallar
Sayı Kümeleri
• Rakamlar: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollerdir. 10 tanedir:
\(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)
• Doğal Sayılar (N): Sıfırdan başlayıp sonsuza kadar giden sayılardır.
\(N=\{0,1,2,3,\dots \}\)
• Sayma Sayıları (N⁺): 1'den başlayıp sonsuza giden sayılardır.
\(N^{+}=\{1,2,3,4,\dots \}\)
• Tam Sayılar (Z): Negatif sayılar, sıfır ve pozitif sayıların tamamıdır.
\(Z=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}\)
• Asal Sayılar: Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılardır.
\(\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,\dots \}\)
o Not: En küçük ve tek çift asal sayı 2'dir. Negatif asal sayı yoktur.
İşaret Kuralları (Dört İşlem)
• Toplama ve Çıkarma:
o Aynı işaretli sayılar toplanır, ortak işaret aynen yazılır.
(+5) + (+3) = +8
(-5) + (-3) = -8 (Borç + Borç = Daha çok borç)
o Zıt işaretli sayılar çıkarılır (büyükten küçük olan), mutlak değerce büyük olan sayının işareti sonuca verilir.
(-9) + (+4) = -5
(+10) + (-3) = +7
• Çarpma ve Bölme:
o Aynı işaretlilerin çarpımı veya bölümü POZİTİF (+) olur.
(+) • (+) = (+) ya da (-) • (-) = (+)
o Zıt işaretlilerin çarpımı veya bölümü NEGATİF (-) olur.
(+) • (-) = (-) ya da (-) • (+) = (-)
________________________________________
2. İşlem Önceliği
Birden fazla işlemin bir arada bulunduğu ifadelerde matematiksel hata yapmamak için şu sıra (şifre: PÜÇT) takip edilir:
1. Parantez içindeki işlemler (En içteki parantezden dışa doğru)
2. Üslü ve Köklü sayılar
3. Çarpma ve Bölme işlemleri (Eğer yan yanaysa soldan sağa doğru sıra izlenir)
4. Toplama ve Çıkarma işlemleri (Soldan sağa doğru)
Örnek Soru: 12 - 4 : 2 + 3 ⋅ (5 - 2) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
1. Önce parantez içi: (5 - 2) = 3 → İşlem şu hale geldi: 12 - 4 : 2 + 3 ⋅ 3
2. Bölme ve Çarpma yapılır: 4 : 2 = 2 ve 3 ⋅ 3 = 9 → İşlem şu hale geldi: 12 - 2 + 9
3. Soldan sağa toplama/çıkarma: \(12 - 2 = 10 \rightarrow 10 + 9 = \mathbf{19}\)
________________________________________
3. Rasyonel Sayılar (Kesirler)
a ve b birer tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere \(\frac{a}{b}\) şeklindeki ifadelere rasyonel sayı denir. Burada a pay, b ise paydadır.
Rasyonel Sayılarda Dört İşlem
• Toplama ve Çıkarma: İşlem yapabilmek için paydaların eşit olması şarttır. Paydalar eşitlendikten sonra paylar toplanır/çıkarılır, ortak payda aynen yazılır.
\(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}\)
• Çarpma: Paylar kendi arasında çarpılıp paya, paydalar kendi arasında çarpılıp paydaya yazılır. (Payda eşitlemeye gerek yoktur).
\(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}\)
• Bölme: Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilerek (takla attırılarak) birinciyle çarpılır.
\(\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}\)
________________________________________
4. Birinci Dereceden Denklemler
İçinde bilinmeyen (genellikle x) bulunan ve eşitlik içeren ifadelere denklem denir. Amaç, bilinmeyeni (x'i) eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmaktır.
Temel Kurallar
• Eşitliğin bir tarafındaki sayı veya bilinmeyen, karşı tarafa geçerken işaret değiştirir.
o Artı (+) olan karşıya Eksi (-) olarak geçer.
o Eksi (-) olan karşıya Artı (+) olarak geçer.
o Çarpım durumundaki sayı karşıya Bölüm (/) olarak geçer.
o Bölüm durumundaki sayı karşıya Çarpım (⋅) olarak geçer.
Örnek Soru: 3x - 5 = 13 ise x kaçtır?
Çözüm:
1. -5 sayısını karşıya +5 olarak atalım:
\(3x=13+5\)
\(3x=18\)
2. x'in başındaki 3 çarpım durumunda olduğu için karşıya bölme olarak geçer:
\(x=\frac{18}{3}\)
\(x=\mathbf{6}\)
5. Üslü Sayılar
Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımının kısa gösterimidir. \(a^{n}\) ifadesinde \(a\) taban, \(n\) ise üstür (\(n\) tane \(a\)'nın çarpımı).
Temel Kurallar
• Sıfırıncı Kuvvet: Sıfır hariç tüm sayıların 0. kuvveti 1'dir. (\(5^0 = 1\), \((-12)^0 = 1\))
• Birinci Kuvvet: Her sayının 1. kuvveti kendisine eşittir. (\(7^1 = 7\))
• Negatif Üs: Üstteki eksi işareti sayıyı ters çevirir (takla attırır), sayıyı negatif yapmaz.
\(a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\quad \text{veya}\quad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}\)
• Üssün Üssü: Üsler birbiriyle çarpılır.
\((a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}\)
Üslü Sayılarda İşlemler
• Çarpma İşlemi:
o Tabanlar aynı ise üsler toplanır: \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\)
o Üsler aynı ise tabanlar çarpılır: \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)
• Bölme İşlemi:
o Tabanlar aynı ise payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: \(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\)
o Üsler aynı ise tabanlar bölünür: \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\)
________________________________________
6. Köklü Sayılar
"Hangi sayının karesi (veya kuvveti) bu sayıya eşittir?" sorusunun cevabıdır. \(\sqrt[n]{x}\) şeklinde gösterilir. Eğer kök derecesi (\(n\)) yazmıyorsa, o karekök (\(\sqrt{x} = \sqrt[2]{x}\)) anlamına gelir.
Temel Kurallar
• Kök Dışına Çıkarma: Tam kare sayılar kök dışına doğrudan çıkar.
o \(\sqrt{4} = 2\) (Çünkü \(2^2 = 4\))
o \(\sqrt{25} = 5\) (Çünkü \(5^2 = 25\))
o \(\sqrt{100} = 10\) (Çünkü \(10^2 = 100\))
• Köklü İfadeyi Üslü Yazma: Her köklü sayı aslında üssü kesirli bir sayıdır.
\(\sqrt[n]{x^{m}}=x^{\frac{m}{n}}\)
Köklü Sayılarda İşlemler
• Toplama ve Çıkarma: Sadece hem kök derecesi hem de kök içi aynı olan ifadeler kendi arasında toplanıp çıkarılabilir. Kök önündeki katsayılar işleme alınır.
\(a\sqrt{x}+b\sqrt{x}-c\sqrt{x}=(a+b-c)\sqrt{x}\)
• Çarpma ve Bölme: Kök dereceleri eşitse, kök içindeki sayılar tek bir kök içinde çarpılabilir veya bölünebilir.
o \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\)
o \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)
________________________________________
7. Çarpanlara Ayırma
Büyük ve karmaşık matematiksel ifadeleri, aralarında çarpma işlemi olacak şekilde daha küçük parçalara ayırma yöntemidir. Denklemleri çözmede hayati önem taşır.
En Çok Karşılaşılan 3 Temel Yöntem/Özdeşlik
1. Ortak Çarpan Parantezine Alma: İfadedeki her terimde ortak olan sayı veya harf parantezin dışına alınır.
o \(3x + 12 = 3(x + 4)\) (Her iki terim de 3'e bölünür)
o \(x^2 + 5x = x(x + 5)\) (Her iki terimde de en az bir tane \(x\) ortaktır)
2. İki Kare Farkı (\(a^2 - b^2\)): İki tam kare ifadenin farkı, bu sayıların bir eksili bir de artılı çarpımına eşittir. Sınavlarda en çok sorulan kuraldır.
\(a^{2}-b^{2}=(a-b)\cdot (a+b)\)
o Örnek: \(x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3) \cdot (x + 3)\)
o Örnek: \(x^2 - 1 = (x - 1) \cdot (x + 1)\)
3. Tam Kare Açılımı (\((a + b)^2\) ve \((a - b)^2\)):
o \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) (Birincinin karesi + birinciyle ikincinin çarpımının iki katı + ikincinin karesi)
o \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (Birincinin karesi - birinciyle ikincinin çarpımının iki katı + ikincinin karesi)
o Örnek: \((x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4\)